3riko tachibana: Winkel

Ein Winkel, der von zwei Strahlen gebildet wird, die von einem Scheitelpunkt ausgehen.

In der ebenen Geometrie ist ein Winkel die Figur, die von zwei Strahlen gebildet wird. Seiten des Winkels mit gemeinsamem Endpunkt, genannt Scheitelpunkt des Winkels. ^[1]
Winkel, die von zwei Strahlen gebildet werden, liegen in einer Ebene, aber diese Ebene muss nicht eine sein Euklidische Ebene Winkel werden auch durch den Schnitt zweier Ebenen in euklidischen und anderen Räumen gebildet. Diese werden Diederwinkel genannt. Winkel, die durch den Schnitt zweier Kurven in einer Ebene gebildet werden, sind als der Winkel definiert, der durch die Tangentenstrahlen am Schnittpunkt bestimmt wird. Ähnliches gilt für den Raum. Zum Beispiel ist der von zwei Großkreisen auf einer Kugel gebildete Kugelwinkel der Diederwinkel zwischen den von den Großkreisen bestimmten Ebenen.

Winkel wird auch verwendet, um das Maß eines Winkels oder einer Drehung zu bezeichnen. Dieses Maß ist das Verhältnis der Länge eines Kreisbogens zum Radius. Im Falle eines geometrischen Winkels wird der Bogen am Scheitelpunkt zentriert und von den Seiten begrenzt. Im Falle einer Drehung wird der Bogen im Zentrum der Drehung zentriert und durch jeden anderen Punkt und sein Bild durch die Drehung begrenzt.

Der Wortwinkel stammt vom lateinischen Wort Angulus und bedeutet "Ecke"; Verwandte Wörter sind die griechischen ἀγκύλος (ankylós) die "krumm, gekrümmt" bedeuten, und das englische Wort "Knöchel". Beide sind mit der Proto-Indo-Europäischen Wurzel * ank- verbunden, was "Biegen" oder "Bogen" bedeutet. ^[2]

Euclid definiert einen Ebenenwinkel als Neigung zueinander in einer Ebene von zwei Linien, die aufeinander treffen und nicht gerade zueinander liegen. Gemäß Proclus muss ein Winkel entweder eine Qualität oder eine Menge oder eine Beziehung sein. Das erste Konzept wurde von Eudemus verwendet, der einen Winkel als Abweichung von einer geraden Linie betrachtete; der zweite von Carpus von Antiochia, der es als das Intervall oder den Raum zwischen den sich kreuzenden Linien betrachtete; Euklid übernahm das dritte Konzept, obwohl seine Definitionen von rechten, spitzen und stumpfen Winkeln sicherlich quantitativ sind. ^[3]

Identifizieren von Winkeln [ edit

In mathematischen Ausdrücken wird es häufig verwendet Griechische Buchstaben ( & agr; & bgr; & ggr; & thgr; ..., um als zu dienen Variablen, die für die Größe eines Winkels stehen. (Um eine Verwechslung mit der anderen Bedeutung zu vermeiden, wird das Symbol $π$ normalerweise nicht für diesen Zweck verwendet.) Kleinbuchstaben (19459011] a b ] c ,..) werden ebenso verwendet wie römische Großbuchstaben im Kontext von Polygonen. Beispiele finden Sie in den Abbildungen in diesem Artikel.

In geometrischen Figuren können Winkel auch durch die Beschriftung der drei Punkte identifiziert werden, die sie definieren. Zum Beispiel wird der Winkel am Scheitelpunkt A, der von den Strahlen AB und AC eingeschlossen wird (dh die Linien von Punkt A zu Punkt B und Punkt A zu Punkt C), mit ∠BAC (in Unicode U + 2220 ) bezeichnet. 19659015] ANGLE ) oder ${ displaystyle { widehat {BAC}}}$ . Manchmal, wenn keine Verwechslungsgefahr besteht, kann der Winkel einfach durch seinen Scheitelpunkt ("Winkel A") bezeichnet werden.

Potentiell kann ein mit ∠BAC bezeichneter Winkel sich auf einen von vier Winkeln beziehen: den Uhrzeigersinnwinkel von B nach C, den Winkel entgegen dem Uhrzeigersinn von B nach C, den Uhrzeigersinn von C nach B oder den Uhrzeigersinn von C bis B, wobei die Richtung, in der der Winkel gemessen wird, sein Vorzeichen bestimmt (siehe Positive und negative Winkel). In vielen geometrischen Situationen ist es jedoch aus dem Kontext offensichtlich, dass der positive Winkel kleiner oder gleich 180 Grad gemeint ist und keine Mehrdeutigkeit entsteht. Ansonsten kann eine Konvention angewendet werden, so dass sich ∠BAC immer auf den (positiven) Winkel gegen den Uhrzeigersinn von B nach C und ∠CAB auf den (positiven) Winkel gegen den Uhrzeigersinn von C auf B bezieht.

Winkeltypen [ edit ]

Einzelne Winkel [ edit

Ein Winkel, der 0 ° entspricht oder nicht gedreht ist, wird als Nullwinkel bezeichnet.

Winkel kleiner als ein rechter Winkel (weniger als 90 °) wird als spitze Winkel bezeichnet ("akut" bedeutet "scharf").

Ein Winkel gleich 1 / 4 4 Umdrehung (90 ° oder $π$ / 2 Radiant) wird als rechter Winkel bezeichnet. Zwei Linien, die einen rechten Winkel bilden, werden als normal orthogonal oder senkrecht bezeichnet.

Winkel größer als ein rechter Winkel und kleiner als eine Gerade Winkel (zwischen 90 ° und 180 °) werden als stumpfe Winkel bezeichnet ("stumpf" bedeutet "stumpf").

Ein Winkel gleich 1 / 2 2 Umdrehung (180 ° oder $π$ Radiant) wird als gerader Winkel von bezeichnet.

Winkel, die größer als ein gerader Winkel, aber weniger als eine Umdrehung (zwischen 180 ° und 360 °) sind Reflexwinkel genannt .

Ein Winkel, der 1 Umdrehung (360 ° oder 2 $π$ Radiant) entspricht, wird als vollständiger Winkel bezeichnet runder Winkel oder ein perigon .

Winkel, die nicht rechtwinklig sind oder ein Vielfaches eines rechten Winkels sind, werden als schräge Winkel bezeichnet. 19659049] Die Namen, Intervalle und eine d gemessene Einheiten sind in der folgenden Tabelle aufgeführt:

Akute ( a ), stumpfe ( b ) und gerade ( c ) Winkel. Die spitzen und stumpfen Winkel werden auch als schräge Winkel bezeichnet.

Reflexwinkel

Einheiten	Intervall
Name	Null	akut	rechter Winkel	stumpf	gerade	Reflex	Perigon
Turns	0	(0, 1 / 4 )	1 / 4	( 1 / 4 1 / 2 )	1 / 2	( 1 / 2 1)	1
Radians	0	(0, 1 / 2 [19659108π)	1 / 2 $π$	( 1 / 2 $π$ $π$ )	$π$	( $π$ 2 $π$ )	2 $π$
Abschlüsse	0 °	(0, 90) °	90 °	(90, 180) °	180 °	(180, 360) °	360 °
Gons	0 ^g	(0, 100) ^g	100 ^g	(100, 200) ^g	200 ^g	(200, 400) ^g	400 ^g

Äquivalenzwinkelpaare bearbeiten ]

Winkel, die dasselbe Maß (dh dieselbe Größe) haben, werden als gleich oder kongruent bezeichnet. Ein Winkel ist durch sein Maß definiert und hängt nicht von der Länge der Winkelseiten ab (z. B. sind alle rechten Winkel gleich groß.)

Zwei Winkel, die die Anschlussseiten teilen, sich jedoch voneinander unterscheiden Größe durch ein ganzzahliges Vielfaches einer Windung werden als Coterminal-Winkel bezeichnet.

Ein Referenzwinkel ist die akute Version eines Winkels, der durch wiederholtes Abziehen oder Hinzufügen eines geraden Winkels bestimmt wird [19659032] 1 / 2 drehen, 180 ° oder $π$ im Bogenmaß), um die erforderlichen Ergebnisse zu erzielen, bis die Größe des Ergebnisses ein spitzer Winkel ist, ein Wert zwischen 0 und 1 / 4 wiederum Radien um 90 ° oder $π$ / 2. Zum Beispiel hat ein Winkel von 30 Grad einen Referenzwinkel von 30 Grad und ein Winkel von 150 Grad hat auch einen Referenzwinkel von 30 Grad (180–150). Ein Winkel von 750 Grad hat einen Bezugswinkel von 30 Grad (750–720). ^[4]

Vertikale und benachbarte Winkelpaare [ edit

Die Winkel A und B sind zwei vertikale Winkel; Winkel C und D sind ein Paar von vertikalen Winkeln.

Wenn sich zwei gerade Linien an einem Punkt schneiden, werden vier Winkel gebildet. Paarweise werden diese Winkel entsprechend ihrer Position relativ zueinander benannt.

Ein gegenüberliegendes Winkelpaar, das aus zwei sich kreuzenden Geraden gebildet wird, die eine "X" -ähnliche Form bilden, wird als vertikaler Winkel oder entgegengesetzter Winkel oder bezeichnet. vertikal entgegengesetzte Winkel . Sie werden als vert abgekürzt. opp. ∠s . ^[5]

Die Gleichheit von vertikal entgegengesetzten Winkeln wird als -Drehwinkelsatz bezeichnet. Eudemus von Rhodos schrieb Thales of Milet den Beweis zu. ^[6] Der Satz zeigte, dass, da beide vertikale Winkelpaare zwei benachbarte Winkel ergänzen, die vertikalen Winkel gleich groß sind. Nach einer historischen Notiz bemerkte Thales, als Thales Ägypten besuchte, dass die Ägypter, wenn sie zwei sich kreuzende Linien zeichneten, die vertikalen Winkel messen würden, um sicherzustellen, dass sie gleich sind. Thales schlussfolgerte, dass man beweisen könnte, dass alle vertikalen Winkel gleich sind, wenn man einige allgemeine Begriffe akzeptierte, wie: Alle geraden Winkel sind gleich, Gleiche sind gleich, gleich und Gleiche, die von Gleichem abgezogen werden, sind gleich.

In der Abbildung sei angenommen das Maß des Winkels A = x . Wenn zwei benachbarte Winkel eine gerade Linie bilden, sind sie ergänzend. Daher ist das Maß des Winkels C = 180 - x . In ähnlicher Weise ist das Maß von Angle D = 180 - x . Sowohl Angle C als auch Angle D haben Maße von 180 - x und sind kongruent. Da Angle B zu den beiden Angles C und D ergänzend ist, kann eine dieser Winkelmaße zur Bestimmung des Maßes von Angle B verwendet werden ]. Anhand des Maßes von Angle C oder Angle D finden wir das Maß von Angle B = 180 - (180 - x ) = 180 - 180 + x = x . Daher weisen sowohl Angle A als auch Angle B Maße auf, die x entsprechen, und sind in ihren Maßen gleich.

Angles A und B sind benachbart.

Angrenzende Winkel häufig abgekürzt als adj. ∠s sind Winkel, die einen gemeinsamen Scheitelpunkt und eine gemeinsame Kante haben, jedoch keine inneren Punkte. Mit anderen Worten, es sind Winkel, die nebeneinander liegen oder nebeneinander liegen und sich einen "Arm" teilen. Angrenzende Winkel, die sich zu einem rechten Winkel, einem geraden Winkel oder einem vollen Winkel summieren, sind speziell und werden als ergänzende ergänzende und explementäre Winkel bezeichnet (siehe "Kombinationswinkelpaare")

Eine Transversale ist eine Linie, die ein Paar von (oft parallelen) Linien schneidet und den alternativen Innenwinkeln entsprechenden Winkeln entsprechenden Innenwinkeln zugeordnet ist und Außenwinkel .

Kombinieren von Winkelpaaren [ edit

Es gibt drei spezielle Winkelpaare, die die Summierung von Winkeln beinhalten:

Die komplementären Winkel a und b ( b sind die Ergänzung von a und a ist die Ergänzung zu b .

Komplementärwinkel sind Winkelpaare, deren Maße sich zu einem rechten Winkel addieren ( 1 . 4 Drehen, 90 ° oder $π$ / 2 2 Radiant). Wenn die beiden komplementären Winkel benachbart sind, bilden ihre nicht gemeinsam genutzten Seiten einen rechten Winkel. In der euklidischen Geometrie sind die zwei spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck komplementär, da die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks 180 Grad beträgt und der rechte Winkel selbst neunzig Grad ausmacht.

Das komplementäre Adjektiv stammt aus dem Lateinischen Complementum assoziiert mit dem Verb complere "auffüllen". Ein spitzer Winkel wird durch sein Komplement "aufgefüllt", um einen rechten Winkel zu bilden.

Die Differenz zwischen einem Winkel und einem rechten Winkel wird als Komplement des Winkels bezeichnet. ^{[9] [9]}

Wenn sich die Winkel A und B ergänzen, gelten folgende Beziehungen:

{displaystyle {begin{aligned}&sin ^{2}A+sin ^{2}B=1&&cos ^{2}A+cos ^{2}B=1\[3pt]&tan A=cot B&&sec A=csc Bend{aligned}}}

(Der Tangens eines Winkels ist gleich dem Kotangens seines Komplements und seiner Sekante gleich dem Cosecans seines Komplements.)

Das Präfix "co-" in den Namen einiger trigonometrischer Verhältnisse bezieht sich auf das Wort "komplementär".

Der engl es a und b sind ergänzende Winkel.

Zwei Winkel, die sich zu einem geraden Winkel summieren ( 1 / 2 Umdrehung um 180 ° oder $π$ Radiant) werden als Ergänzungswinkel bezeichnet. .

Wenn die beiden Zusatzwinkel benachbart sind (d. H einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben und nur eine Seite teilen), bilden ihre nicht gemeinsam genutzten Seiten eine gerade Linie. Solche Winkel werden als lineares Winkelpaar bezeichnet. Ergänzungswinkel müssen jedoch nicht auf derselben Linie liegen und können räumlich getrennt werden. Zum Beispiel sind benachbarte Winkel eines Parallelogramms ergänzend und entgegengesetzte Winkel eines zyklischen Vierecks (einer, dessen Scheitelpunkte alle auf einen einzigen Kreis fallen) ergänzen sich.

Wenn sich ein Punkt P außerhalb eines Kreises mit dem Mittelpunkt O befindet und wenn die Tangenten von P berühren den Kreis an den Punkten T und Q, dann sind ∠TPQ und ∠TOQ ergänzend.

Die Sinuswerte der Zusatzwinkel sind gleich. Ihre Cosinus- und Tangens-Werte (wenn nicht undefiniert) sind gleich groß, haben aber entgegengesetzte Vorzeichen.

In der euklidischen Geometrie ist jede Summe von zwei Winkeln in einem Dreieck eine Ergänzung zu dem dritten, da die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks eine Gerade ist Winkel.

Summe von zwei Erkundungswinkeln ist ein vollständiger Winkel.

Zwei Winkel, die sich zu einem vollständigen Winkel summieren (1 Drehung, 360 ° oder 2 $). π$ Radiant) werden als explementäre Winkel oder konjugierte Winkel bezeichnet.
Die Differenz zwischen einem Winkel und einem vollständigen Winkel wird als des Winkels oder Konjugat eines Winkels bezeichnet.

Polygonbezogene Winkel ] edit ]

Innen- und Außenwinkel.

Ein Winkel, der Teil eines einfachen Polygons ist, wird als Innenwinkel bezeichnet, wenn er innerhalb dieses einfachen Polygons liegt . Ein einfaches konkaves Polygon hat mindestens einen Innenwinkel, der ein Reflexwinkel ist.
In der euklidischen Geometrie addieren sich die Maße der Innenwinkel eines Dreiecks zu $π$ Radiant, 180 ° oder 1 / 2 2; Die Maße der Innenwinkel eines einfachen konvexen Vierecks addieren sich zu 2 $π$ Radiant, 360 ° oder 1 Umdrehung. Im Allgemeinen addieren sich die Maße der Innenwinkel eines einfachen konvexen Polygons mit n Seiten zu ( n - 2) $π$ Radiant oder 180 ( n - 2) Grad, (2 n - 4) rechte Winkel oder ( n / 2 - 1) Umdrehung.

Die Ergänzung eines Innenwinkels wird als Außenwinkel bezeichnet, dh ein Innenwinkel und ein Außenwinkel bilden ein lineares Winkelpaar. An jedem Scheitelpunkt des Polygons gibt es zwei Außenwinkel, die jeweils durch Verlängerung einer der beiden Seiten des Polygons bestimmt werden, die sich am Scheitelpunkt treffen; Diese beiden Winkel sind vertikale Winkel und daher gleich. Ein Außenwinkel misst den Betrag der Drehung, die an einem Scheitelpunkt ausgeführt werden muss, um das Polygon zu verfolgen. Wenn der entsprechende Innenwinkel ein Reflexwinkel ist, sollte der Außenwinkel als negativ betrachtet werden. Selbst in einem nicht einfachen Polygon kann der Außenwinkel definiert werden, es muss jedoch eine Ausrichtung der Ebene (oder Oberfläche) ausgewählt werden, um das Vorzeichen des Außenwinkelmaßes zu bestimmen.
In der euklidischen Geometrie beträgt die Summe der Außenwinkel eines einfachen konvexen Polygons eine volle Umdrehung (360 °). Der Außenwinkel könnte hier als zusätzlicher Außenwinkel bezeichnet werden. Außenwinkel werden häufig in der Logo-Schildkrötengeometrie beim Zeichnen von regelmäßigen Polygonen verwendet.

In einem Dreieck sind die Winkelhalbierenden zweier Außenwinkel und die Winkelhalbierenden des anderen Innenwinkels gleichzeitig (treffen Sie sich an einem einzigen Punkt). ^[12]^{: p. 149}

In einem Dreieck sind drei Kreuzungspunkte jeweils einer äußeren Winkelhalbierenden mit der gegenüberliegenden erweiterten Seite kollinear. ^[12]^{: p. 149}

In einem Dreieck sind drei Schnittpunkte, zwei davon zwischen einer Innenwinkelhalbierenden und der gegenüberliegenden Seite und der dritte zwischen der anderen Außenwinkelhalbierenden und der gegenüberliegenden Seite, kollinear. 19659251]: p. 149

Einige Autoren verwenden den Namen Außenwinkel eines einfachen Polygons, um einfach den Explement-Außenwinkel ( nicht Ergänzung zu bezeichnen!). ^[13] Dies steht im Konflikt mit der obigen Verwendung.
Ebenenbezogene Winkel [ edit ]

Der Winkel zwischen zwei Ebenen (z. B. zwei angrenzenden Flächen) ein Polyeder) wird als Diederwinkel bezeichnet. ^[9] Er kann als spitzer Winkel zwischen zwei senkrecht zu den Ebenen stehenden Geraden definiert werden.

Der Winkel zwischen einer Ebene und einer sich schneidenden Geraden ist gleich neunzig Grad minus der Winkel zwischen der Schnittlinie und der Linie, die durch den Schnittpunkt verläuft und senkrecht zur Ebene verläuft.
Messwinkel [ edit

Die Größe von a Der geometrische Winkel wird normalerweise durch die Größe der kleinsten Drehung charakterisiert, die eine der Strahlen in das ot abbildet ihr. Winkel, die die gleiche Größe haben, werden als gleich oder kongruent oder gleichwertig .
In einigen Kontexten, z. B. beim Identifizieren eines Punkts auf einem Kreis oder der Beschreibung der -Orientierung eines Objekts in zwei Dimensionen relativ zu einer Referenzorientierung, sind Winkel, die sich um ein genaues Vielfaches einer vollen Drehung unterscheiden, effektiv Äquivalent. In anderen Zusammenhängen, wie zum Beispiel das Identifizieren eines Punktes auf einer Spiralkurve oder die Beschreibung der kumulativen Rotation eines Objekts in zwei Dimensionen relativ zu einer Referenzorientierung, sind Winkel, die sich um ein Vielfaches ungleich Null einer vollen Drehung unterscheiden nicht gleichwertig.

Das Winkelmaß θ (im Bogenmaß) ist der Quotient von und .

Um einen Winkel zu messen wird ein kreisförmiger Bogen gezeichnet, der am Scheitelpunkt des Winkels zentriert ist, z mit einem Zirkel. Das Verhältnis der Länge s des Bogens durch den Radius r des Kreises ist das Maß für den Winkel im Bogenmaß.
Das Maß für den Winkel in einer anderen Winkeleinheit erhält man dann durch Multiplikation seines Maßes im Bogenmaß mit dem Skalierungsfaktor. k / 2 $π$ wobei k das Maß einer vollständigen Drehung in der gewählten Einheit ist (zum Beispiel 360 für Grad oder 400 für Gradians):

${displaystyle theta =k{frac {s}{2pi r}}.}$