3riko tachibana: Theil-Index

Der Theil-Index ist eine Statistik, die hauptsächlich zur Messung der wirtschaftlichen Ungleichheit ^[1] und anderer wirtschaftlicher Phänomene verwendet wird, obwohl sie auch zur Messung der Rassentrennung verwendet wurde. ^[2]^[3]

Theil-Index T _T entspricht der Redundanz in der Informationstheorie, die die maximal mögliche Entropie der Daten minus der beobachteten Entropie ist. Es ist ein Sonderfall des verallgemeinerten Entropieindex. Es kann als Maß für Redundanz, mangelnde Diversität, Isolation, Segregation, Ungleichheit, Nicht-Zufälligkeit und Komprimierbarkeit betrachtet werden. Es wurde vom Ökonometriker Henri Theil an der Erasmus-Universität Rotterdam vorgeschlagen. ^[3]

Formula [ edit ]

Für eine Bevölkerung von N "Agenten" mit jeweils charakteristischen x kann die Situation durch die Liste x _i ( i = 1, ..., N [19459011)dargestelltwerden]) wobei x _i das Charakteristikum des Agenten i ist. Wenn das Merkmal beispielsweise das Einkommen ist, dann ist x _i das Einkommen des Agenten i .

Der Theil T Index ist definiert als ^[4]

${ displaystyle T_ {T} = T _ { alpha = 1} = { frac {1} {N}} sum _ {i = 1} ^ {N} { frac {x_ {i}} { mu}} ln left ({ frac {x_ {i}} { mu}} right)}$
und dem Theil L -Index wird definiert als ^[4]

${ displaystyle T_ {L} = T _ { alpha = 0} = { frac { 1} {N}} sum _ {i = 1} ^ {N} ln left ({ frac { mu} {x_ {i}}} right)}$
wobei ${ displaystyle mu}$ ist das mittlere Einkommen:

${displaystyle mu ={frac {1}{N}}sum _{i=1}^{N}x_{i}}$
Äquivalent, wenn die Situation durch eine diskrete Verteilungsfunktion gekennzeichnet ist f _k ( k = 0, ..., W ) wobei f _k der Bevölkerungsanteil mit Einkommen ist k ] und W = Nμ ist das Gesamteinkommen, dann ${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {W} f_ {k} = 1}$ und der Theil-Index lautet:

${ displaystyle T_ {T} = sum _ {k = 0} ^ {W} , f_ {k } , { frac {k} { mu}} ln left ({ frac {k} { mu}} right)}$
wobei ${ displaystyle mu}$ ist wieder das mittlere Einkommen:

$mu = sum _ {k = 0} ^ {W} kf_ {k}}$
Beachten Sie, dass In diesem Fall ist das Einkommen k eine ganze Zahl und k = 1 stellt die kleinstmögliche Einkommenssteigerung dar (z. B. Cents).
wenn die Situation durch eine kontinuierliche Verteilungsfunktion gekennzeichnet ist f ( k ) (unterstützt von 0 bis unendlich), wobei f [ k ) dk ist der Bevölkerungsanteil mit Einkommen k bis k + dk dann ist der Theil-Index:

${[displaystyleT_{T}=int_{0}^{infty}f(k){frac{k}{mu}}lnleft({frac{k}{mu}}right)dk}$
wobei der Mittelwert ist:

${ displaystyle mu = int _ {0} ^ { infty} kf (k) , dk}$
Die folgenden Indizes für einige häufige kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind in der folgenden Tabelle aufgeführt:

Wenn jeder das gleiche Einkommen hat, dann ist T _T gleich 0. Wenn eine Person das gesamte Einkommen hat, dann T _T ergibt das Ergebnis ${displaystyle ln N}$ was eine maximale Ungleichheit darstellt. T _T von $N$ ${19659206] {19659206] {ng. [x]}$ und gilt nicht als Maß für Ungleichheit.
Der Theil-Index misst eine entropische "Entfernung", in der sich die Bevölkerung von dem egalitären Staat aller Menschen mit dem gleichen Einkommen entfernt befindet. Das numerische Ergebnis bezieht sich auf negative Entropie, so dass eine höhere Zahl eine größere Ordnung angibt, die weiter von der vollständigen Gleichheit entfernt ist. Indem der Index so formuliert wird, dass er negative Entropie anstelle von Entropie darstellt, kann er ein Maß für Ungleichheit und nicht Gleichheit sein.

Ableitung von der Entropie [ edit ]

Der Theil-Index leitet sich von Shannons Maß für die Informationsentropie ab ${displaystyle S}$ ]wobei Entropie ein Maß für die Zufälligkeit in einer gegebenen Menge von Informationen ist. In der Informationstheorie, Physik und dem Theil-Index ist die allgemeine Form der Entropie

${19659039] {19659039] {i = 1} ^ {N} left (p_ {i} log { frac {1} {p_ {i}}} right) = - k sum _ {i = 1} ^ {N} left (p_ {i} log {p_ {i}} right)}$
wobei [19659252] p i { displaystyle p_ {i}} $p_ {i}$ ist die Wahrscheinlichkeit, ein Mitglied zu finden ${ displaystyle i}$ die Boltzmann-Konstante. Wenn in der Informationstheorie Informationen in binären Ziffern angegeben werden, gilt ${ displaystyle k = 1}$ und die Protokollbasis ist 2. In der Physik und auch bei der Berechnung des Theil-Index wird der natürliche Logarithmus als logarithmische Basis gewählt. Wenn ${ displaystyle p_ {i}}$ als Einkommen pro Person gewählt wird $i {[displaystylex_{i}}$ es muss normalisiert werden, indem das Gesamtbevölkerungseinkommen geteilt wird, ${ displaystyle N { overline {x}}}$ . Dies ergibt die beobachtete Entropie ${ displaystyle S _ { text {Theil}}$ einer Population, die sein soll:

${19659039] {19659039] {19659039] (19659039) (19659039) }} = sum _ {i = 1} ^ {N} left ({ frac {x_ {i}} {N { overline {x}}}} ln { frac {N { overline {x }}} {x_ {i}}} right)}$
Der Theil-Index lautet ${ displaystyle T_ {T} = S _ { text {max}} - S_ { text {Theil}}}$ wobei ${ displaystyle S _ { text {max}}}$ ist die theoretische maximale Entropie, die erreicht wird, wenn alle Einkommen gleich sind, dh ${ displaystyle x_ {i} = { overline {x}}]$ i für alle { displaystyle i} $i$ . Dies wird ersetzt durch ${ displaystyle S _ { text {Theil}}$ um ${ displaystyle S _ { text {max}} = ln N}$ eine Konstante, die nur von der Bevölkerung bestimmt wird. Der Theil-Index gibt also einen Wert in Form einer Entropie an, die misst, wie weit S Theil { displaystyle S _ { text {Theil}}} $S _ { text {Theil}}$ ist vom "Ideal" entfernt ${ displaystyle S _ { text {max}}}$ . Der Index ist eine "negative Entropie" in dem Sinne, dass er mit zunehmender Störung kleiner wird und daher eher ein Maß für die Ordnung als für die Störung ist.
Wenn ${displaystyle x}$ x Einheiten von Population / Arten ist, ${ displaystyle S _ {{text { Theil}}}$ ist ein Maß für die Biodiversität und wird Shannon-Index genannt. Wenn der Theil-Index mit x = Bevölkerung / Art verwendet wird, ist dies ein Maß für die Ungleichheit der Population zwischen einer Art von Arten oder "Bioisolation" im Gegensatz zu "Wohlstandsisolation".
Der Theil-Index misst, was in der Informationstheorie als Redundanz bezeichnet wird. ^[4] Es ist der übriggebliebene "Informationsraum", der nicht zum Übertragen von Informationen verwendet wurde, was die Wirksamkeit des Preissignals verringert. Der Theil-Index ist ein Maß für die Einkommensentlassung (oder ein anderes Maß für das Vermögen) bei einigen Personen. Redundanz bei manchen Individuen bedeutet Knappheit bei anderen. Ein hoher Theil-Index zeigt an, dass das Gesamteinkommen nicht gleichmäßig auf die einzelnen Personen verteilt ist, und eine nicht komprimierte Textdatei verfügt nicht über eine ähnliche Anzahl von Byte-Positionen, die den verfügbaren eindeutigen Byte-Zeichen zugewiesen sind.

Zerlegbarkeit [ edit ]

Nach Angaben der Weltbank
"Die bekanntesten Entropiemaßnahmen sind Theils T [ ${displaystyle T_{T}}$ ) und Theils L ( ${ displaystyle T_ {L}}$ [5]

Wenn die Bevölkerung in ${ displaystyle m} [19659398] m "/>$
${ displaystyle T_ {T} = sum _ {i = 1} ^ {m} s_ {i} T_ {i} + sum _ {i = 1} ^ {m} s_ { i} ln { frac {{ overline {x}} _ {i}} { mu}}}$