Das Sierpinski-Dreieck (auch mit der ursprünglichen Orthographie Sierpiński ), auch als Sierpinski-Dichtung bezeichnet ] Sierpinski-Sieb ist ein fraktales und attraktives festes Set mit der Gesamtform eines gleichseitigen Dreiecks, das rekursiv in kleinere gleichseitige Dreiecke unterteilt ist. Ursprünglich als Kurve konstruiert, ist dies eines der grundlegenden Beispiele für sich selbst ähnliche Sätze, d. H. Es ist ein mathematisch erzeugtes Muster, das bei jeder Vergrößerung oder Verkleinerung reproduzierbar ist. Es ist nach dem polnischen Mathematiker Wacław Sierpiński benannt, erschien jedoch viele Jahrhunderte vor der Arbeit von Sierpiński als dekoratives Muster. [1][2]
Konstruktionen [ edit
Es gibt viele verschiedene Arten des Aufbaus das Sierpinski-Dreieck.
Entfernen von Dreiecken [ edit ]
Das Sierpinski-Dreieck kann aus einem gleichseitigen Dreieck durch wiederholtes Entfernen dreieckiger Untersätze konstruiert werden:
- Beginnen Sie mit einem gleichseitigen Dreieck.
- Unterteilen Sie es in vier kleinere kongruente gleichseitige Dreiecke und entfernen Sie das zentrale Dreieck.
- Wiederholen Sie Schritt 2 mit jedem der verbleibenden kleineren Dreiecke für immer.
trema ) ist topologisch eine offene Menge. [3]
Dieser Vorgang des rekursiven Entfernens von Dreiecken ist ein Beispiel für eine endliche Unterteilungsregel.
Schrumpfen und Duplizieren [ edit ]
Dieselbe Abfolge von Formen, die zum Sierpinski-Dreieck konvergieren, kann alternativ durch die folgenden Schritte erzeugt werden:
- Beginnen Sie mit einem beliebigen Dreieck in einer Ebene (alle geschlossenen, begrenzten Bereiche in der Ebene funktionieren tatsächlich). Das kanonische Sierpinski-Dreieck verwendet ein gleichseitiges Dreieck mit einer Basis parallel zur horizontalen Achse (erstes Bild).
- Verkleinern Sie das Dreieck auf 1 / 2 Höhe und 1 [19659021] / 2 Breite, machen Sie drei Kopien und positionieren Sie die drei geschrumpften Dreiecke so, dass jedes Dreieck die beiden anderen Dreiecke an einer Ecke berührt (Bild 2). Man beachte das Auftauchen des zentralen Lochs - weil die drei geschrumpften Dreiecke dazwischen nur den Bereich des Originals 3 / 4 abdecken können. (Löcher sind ein wichtiges Merkmal des Sierpinski-Dreiecks.)
- Wiederholen Sie Schritt 2 mit jedem der kleineren Dreiecke (Bild 3 usw.).
Beachten Sie, dass dieser unendliche Vorgang nicht davon abhängig ist, dass die Startform ein Dreieck ist. es ist einfach klarer so. Die ersten Schritte, die zum Beispiel von einem Quadrat ausgehen, tendieren ebenfalls in Richtung eines Sierpinski-Dreiecks. Michael Barnsley benutzte ein Bild eines Fisches, um dies in seinem Artikel "V-variable Fraktale und Superfraktale" zu veranschaulichen. [4][5]
Das eigentliche Fraktal ist das, was nach einer unendlichen Anzahl von Iterationen erhalten würde. Formal beschreibt man es mit Funktionen auf geschlossenen Punktesätzen. Wenn wir d A die Dehnung um einen Faktor von 1 / 2 um einen Punkt A bezeichnen, dann das Sierpinski-Dreieck mit den Ecken A, B und C ist die feste Menge der Transformation d A [1945 d B B d C C .
Dies ist ein attraktiver fester Satz, so dass, wenn die Operation wiederholt auf einen anderen Satz angewendet wird, die Bilder auf dem Sierpinski-Dreieck zusammenlaufen. Dies geschieht mit dem oben genannten Dreieck, aber jede andere Menge würde ausreichen.
Chaos-Spiel [ edit ]
Wenn man einen Punkt annimmt und jede der Transformationen anwendet d ] A d B und d C dazu zufällig. Die resultierenden Punkte werden im Sierpinski-Dreieck dicht sein, also wird der folgende Algorithmus verwendet wieder beliebig nahe Annäherungen daran erzeugen: [6]
Beginnen Sie mit der Kennzeichnung p 1 p 2 und p 3 als die Ecken des Sierpinski-Dreiecks und ein zufälliger Punkt v 1 . Set v n +1 = 1 / 2 ( v n. 19659052] n ] + p r n ) wobei r n eine Zufallszahl 1, 2 oder 3 ist. Zeichnen Sie die Punkte v 1 bis v [1945. Wenn der erste Punkt 1 ein Punkt im Sierpiński-Dreieck war, dann liegen alle Punkte n im . Wenn der erste Punkt v 1 der im Umkreis des Dreiecks liegt, kein Punkt auf dem Sierpinski-Dreieck ist, ist keiner der Punkte v n wird auf dem Sierpinski-Dreieck liegen, sie werden jedoch auf dem Dreieck zusammenlaufen. Wenn v 1 außerhalb des Dreiecks liegt, wird der einzige Weg v n auf dem eigentlichen Dreieck landen, wenn v n steht auf dem, was Teil des Dreiecks wäre, wenn das Dreieck unendlich groß wäre.
Oder einfacher:
- Nehmen Sie drei Punkte in einer Ebene, um ein Dreieck zu bilden, Sie müssen es nicht zeichnen.
- Wählen Sie einen beliebigen Punkt innerhalb des Dreiecks aus und berücksichtigen Sie Ihre aktuelle Position.
- Wählen Sie zufällig einen der drei Scheitelpunkte aus.
- Bewegen Sie die Hälfte der Entfernung von Ihrer aktuellen Position zum ausgewählten Scheitelpunkt.
- Stellen Sie die aktuelle Position auf.
- Wiederholen Sie den Vorgang ab Schritt 3.
Diese Methode wird auch als Chaos-Spiel bezeichnet iteriertes Funktionssystem. Sie können von jedem Punkt außerhalb oder innerhalb des Dreiecks beginnen, und es würde schließlich die Sierpinski-Dichtung mit einigen verbleibenden Punkten bilden (wenn der Startpunkt auf der Umrisslinie des Dreiecks liegt, gibt es keine verbleibenden Punkte). Mit Bleistift und Papier bildet sich nach dem Einfügen von ungefähr einhundert Punkten ein kurzer Umriss, und nach einigen Hundert erscheinen Details. Eine interaktive Version des Chaos-Spiels finden Sie hier.
Pfeilspitzenkonstruktion der Sierpinski-Dichtung [ edit
Eine andere Konstruktion der Sierpinski-Dichtung zeigt, dass sie als eine Kurve in der Ebene konstruiert werden kann. Sie wird durch wiederholte Modifikation einfacherer Kurven gebildet, analog zur Konstruktion der Koch-Schneeflocke:
- Beginnen Sie mit einem einzelnen Liniensegment in der Ebene.
- Ersetzen Sie jedes Liniensegment der Kurve wiederholt durch drei kürzere Segmente und bilden Sie an jedem Übergang zwischen zwei aufeinanderfolgenden Segmenten 120 ° -Winkel, wobei das erste und das letzte Segment der Kurve entweder vorhanden sind parallel zum ursprünglichen Liniensegment oder mit einem Winkel von 60 °.
Bei jeder Wiederholung ergibt diese Konstruktion eine durchgehende Kurve. Im Grenzbereich nähern sich diese einer Kurve, die das Sierpenski-Dreieck durch einen einzigen kontinuierlich gerichteten (unendlich wackeligen) Pfad auszeichnet, der als Sierpinski-Pfeilspitze bezeichnet wird. [7] Tatsächlich war der ursprüngliche Artikel von Sierpinski von 1915 das Ziel ein Beispiel für eine Kurve (eine kantorianische Kurve) zu zeigen, wie der Titel des Artikels selbst erklärt. [8][2]
Zelluläre Automaten [ edit ]
Das Sierpinski-Dreieck erscheint auch in bestimmten Zellen Automaten (wie Regel 90), einschließlich derjenigen, die sich auf Conways Spiel des Lebens beziehen. Beispielsweise erzeugt der lebensechte Zellularautomat B1 / S12, wenn er auf eine einzelne Zelle angewendet wird, vier Näherungen des Sierpinski-Dreiecks. [9] Eine sehr lange, eine Zelle dicke Linie im Standardleben erzeugt zwei gespiegelte Sierpinski-Dreiecke. Das Zeit-Raum-Diagramm eines Replikatormusters in einem zellulären Automaten ähnelt häufig einem Sierpinski-Dreieck, wie dem des gemeinsamen Replikators in HighLife. [10] Das Sierpinski-Dreieck kann auch im Ulam-Warburton-Automaten und im Hex gefunden werden. Ulam-Warburton-Automat. [11]
Pascal-Dreieck [ edit ]
Nimmt man das Pascalsche Dreieck mit 2 n Reihen an und färbt die geraden Zahlen weiß und die ungeraden Zahlen schwarz, so ergibt sich eine Annäherung an das Sierpinski-Dreieck. Genauer gesagt, die Grenze von n nähert sich der Unendlichkeit dieses paritätsfarbenen 2 n -Row-Pascal-Dreiecks ist das Sierpinski-Dreieck. [12]
Towers of Hanoi [ edit ]
Bei den Towers of Hanoi-Rätseln werden Scheiben unterschiedlicher Größe zwischen drei Stiften bewegt, wobei die Eigenschaft beibehalten wird, dass sich niemals eine Scheibe auf einer kleineren Scheibe befindet. Die Zustände eines n -Disk-Puzzles und die zulässigen Bewegungen von einem Zustand in einen anderen bilden einen ungerichteten Graphen, den Hanoi-Graphen, der geometrisch als Schnittgraph des Satzes der verbleibenden Dreiecke dargestellt werden kann der n te Schritt beim Bau des Sierpinski-Dreiecks. In der Grenze, in der n ins Unendliche geht, kann diese Folge von Graphen als diskretes Analogon des Sierpinski-Dreiecks interpretiert werden. [13]
Eigenschaften [ edit . 19659005] Bei ganzzahligen Dimensionen d werden beim Verdoppeln einer Seite eines Objekts 2 d Kopien davon erzeugt, dh 2 Kopien für ein 1-dimensionales Objekt, 4 Kopien für 2 Objekt und 8 Kopien für 3-dimensionales Objekt. Beim Sierpinski-Dreieck werden durch die Verdoppelung der Seite 3 Kopien von sich selbst erstellt. Somit hat das Sierpinski-Dreieck die Dimension von Hausdorff log (3) / log (2) = log 2 3 1,585, was sich aus dem Lösen von 2 d ergibt = 3 für d [14] Die Fläche eines Sierpinski-Dreiecks ist null (in Lebesgue-Maß). Die nach jeder Iteration verbleibende Fläche ist eindeutig 3 / 4 der Fläche der vorherigen Iteration, und eine unendliche Anzahl von Iterationen führt zu Null.
Die Punkte eines Sierpinski-Dreiecks haben eine einfache Charakterisierung in baryzentrischen Koordinaten. [16] Wenn ein Punkt Koordinaten hat (0. u 1 u 2 u u u u u
] 3 …, 0. v 1 v 2 v 3 …, 0. w
w ] w 2 w 3 …), als binäre Zahlen ausgedrückt, dann liegt der Punkt in Sierpinskis Dreieck, wenn und nur wenn u i + v i + w i = 1 für alle i .
Verallgemeinerung auf andere Module [ edit ]
Eine Verallgemeinerung des Sierpinski-Dreiecks kann auch mit dem Pascal-Dreieck erzeugt werden, wenn ein anderes Modulo verwendet wird. Iteration n kann erzeugt werden, indem ein Pascal-Dreieck mit P n Zeilen und Farbnummern durch ihren Wert für x mod erzeugt wird. P . Wenn n sich der Unendlichkeit nähert, wird ein Fraktal generiert.
Dasselbe Fraktal kann erreicht werden, indem ein Dreieck in eine Tessellation von P 2 ähnlichen Dreiecken unterteilt wird und die Dreiecke, die auf dem Kopf stehend sind, vom Original entfernt werden. Anschließend wird dieser Schritt mit jedem kleineren Schritt wiederholt Dreieck.
Umgekehrt kann das Fraktal auch erzeugt werden, indem man mit einem Dreieck beginnt und es dupliziert und arrangiert. n ( n + 1) / 2 der neuen Figuren in derselben Ausrichtung in ein größeres ähnliches Dreieck, wobei sich die Scheitelpunkte der vorherigen Figuren berühren und dann diesen Schritt wiederholen. [17]
Analoga in höheren Dimensionen [ edit ] 19659061]
Eine auf dem Sierpinski-Platz basierende Pyramide und ihre "inverse"
Sierpinski-Pyramiden-Rekursionsprogression (7 Schritte)
Eine auf einem Sierpiński-Dreieck basierende Pyramide von oben (Hauptansicht 4) hervorgehobene Abschnitte). Man beachte die Selbstähnlichkeit in dieser zweidimensionalen Projektionsansicht, so dass das resultierende Dreieck an sich ein 2D-Fraktal sein könnte.
Das Sierpinski-Tetraeder oder Tetrix ist das Drei- dimensionales Analogon des Sierpinski-Dreiecks, gebildet durch wiederholtes Verkleinern eines regulären Tetraeders auf die Hälfte seiner ursprünglichen Höhe, Zusammenfügen von vier Kopien dieses Tetraeders mit berührenden Ecken und anschließendes Wiederholen des Prozesses.
Eine Tetrix, die aus einem anfänglichen Tetraeder mit Seitenlänge aufgebaut ist L hat die Eigenschaft, dass die Gesamtoberfläche bei jeder Iteration konstant bleibt. Die anfängliche Oberfläche des (Iteration-0) -Tetraeders der Seitenlänge L ist L 2 √ 3 . Die nächste Wiederholung besteht aus vier Exemplaren mit Seitenlänge L / 2 so dass die Gesamtfläche 4 beträgt [ L [19659021] / 2 ) 2 √ 3 = 4 L 2 [19589020] 3
/ 4 = L 2 √ 3 . Mittlerweile wird das Volumen der Konstruktion bei jedem Schritt halbiert und nähert sich daher Null. Die Grenze dieses Prozesses hat weder Volumen noch Oberfläche, sondern ist wie die Sierpinski-Dichtung eine eng miteinander verbundene Kurve. Seine Hausdorff-Dimension ist log (4) / log (2) = 2. Wenn alle Punkte auf eine Ebene projiziert werden, die parallel zu zwei der äußeren Kanten liegt, füllen sie genau ein Quadrat der Seitenlänge L / √ 2 ohne Überlappung.
Animation einer Tetrix-Ebene-4, die zeigt, wie einige orthographische Projektionen einer Tetrix eine Ebene füllen können - bewegen Sie sich in diesem interaktiven SVG nach links und rechts über die Tetrix, um das 3D-Modell zu drehen
Numerische Generierung edit ]
Ein kurzer Code in der Mathematica-internen Sprache: das rekursive Verfahren SiPyramid erzeugt eine 3D-Pyramide beliebiger Ordnung n als anzeigbares grafisches Objekt Graphics3D :
vect [ 1 = { 0 [19599209] 0 };
vect [ 2 [1959921] [19599208] 1 0 0 ]
= { 0.5 3 0.5 2 2 2 0 };
vect [ 4 = [19599208] 0,5 1 / 3 * 3 ^ 0,5 2 2 (( 3 ^ 0.5 / 2 ) ) [1965920] 40] ^ 2 - ( 1 / 3 * 3 3 3 3 3 3. 19659240] / 2 ) ^ 2 ) ^ 0,5 } 19659208] j_ [19589294] k_ ] :
Tetrahedron [ 1 ] + { i ] k }, vect [ 2 + [19599208] [19599208] 19659303] i j k [19589303] vect vect 3 ] + { i [19] 659303] j k vect 4 ] { i j k ]; SiPyramid 0
vect [ 1 = { 0 [19599209] 0 };
vect [ 2 [1959921] [19599208] 1 0 0 ]
= { 0.5 3 0.5 2 2 2 0 };
vect [ 4 = [19599208] 0,5 1 / 3 * 3 ^ 0,5 2 2 (( 3 ^ 0.5 / 2 ) ) [1965920] 40] ^ 2 - ( 1 / 3 * 3 3 3 3 3 3. 19659240] / 2 ) ^ 2 ) ^ 0,5 } 19659208] j_ [19589294] k_ ] :
Tetrahedron [ 1 ] + { i ] k }, vect [ 2 + [19599208] [19599208] 19659303] i j k [19589303] vect vect 3 ] + { i [19] 659303] j k vect 4 ] { i j k ]; SiPyramid 0 
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