3riko tachibana: Intervallaustauschtransformation - Wikipedia

Wednesday, February 20, 2019

Intervallaustauschtransformation - Wikipedia

Graph der Intervallaustauschtransformation (in Schwarz) mit

{ displaystyle lambda = (1 / 15,2 / 15,3 / 15,4 / 15,5 / 15)}

und

{Displaystyle pi = (3,5,2,4,1)}

. In Blau ist der Orbit beginnend mit

{ displaystyle 1/2}

.

In der Mathematik ein Intervallaustauschtransformation ^[1] ist eine Art dynamisches System, das die Kreisrotation verallgemeinert. Der Phasenraum besteht aus dem Einheitsintervall und der Transformation, indem das Intervall in mehrere Teilintervalle geschnitten wird und diese Teilintervalle durchgelassen werden.

Formale Definition [ edit ]

Let ${displaystyle n> 0} "> <semantics><mrow class=$ und ließ ${ displaystyle pi}$ eine Permutation auf ${displaystyle 1,dots ,n}$ . Betrachten Sie einen -Vektor ${ displaystyle lambda = ( lambda _ {1}, dots, lambda _ {n})}$ von positiven reellen Zahlen (Breiten der Teilintervalle), befriedigend

{19659047] {{displaystyle sum {1 = 1 } ^ {n} lambda _ {i} = 1.}

Definieren einer Karte $(rechts) [0,1],}$ nannte die mit dem Paar verbundene -Intervalltransformationstransformation () π λ ) { displaystyle ( pi, lambda)} $( pi, lambda)$ wie folgt. Für ${1945style 1 leq i leq n}$

{ displaystyle a_ {i} = sum _ {1 leq j <i} lambda _ {j} quad { text {und}} quad a '_ {i} = sum _ {1 leq j < pi (i)} lambda _ { pi ^ {- 1} (j)} (19659171) <img src = "https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd1111fb31399bad107ca66bff9890df821f25d1" class = "mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden = "true" style = " vertikal ausrichten: -3.505ex; Breite: 40.161ex; height: 6.009ex; "alt =" a_ {i} = sum _ {{1 leq j <i}} lambda _ {j} quad { text {und}} quad a '_ {i} = sum _ {{1 leq j

Dann für ${ displaystyle x in [0,1]}$ definieren

{displaystyle T_{pi ,lambda }(x)=x-a_{i}+a'_{i}}

Wenn ${1945style x}$ liegt Subinterval ${displaystyle [a_{i},a_{i}+lambda _{i})}$ . So ${ displaystyle T _ { pi, lambda}$ ] wirkt auf jedes Teilintervall der Form ${displaystyle [a_{i},a_{i}+lambda _{i})}$ durch eine Übersetzung von und ordnet diese Subintervalle neu an, so dass das Subintervall an Position ${1945st17]$ ist verschoben in Position ${ displaystyle pi (i)}$ [ edit ]

Jede Intervallaustauschtransformation ${displaystyle T_{pi ,lambda }}$ ist eine Verbindung von ${displaystyle [0,1]}$ um sich die Lebesgue-Maßnahme zu erhalten. Es ist kontinuierlich, außer an einer endlichen Anzahl von Punkten.

Die Umkehrung der Intervallaustauschtransformation ${ displaystyle T _ { pi, lambda}}$ ist wieder eine Intervallaustauschtransformation. In der Tat ist es die Transformation ${19659282] { displaystyle T _ { pi ^ { -1}, lambda '}}$ wobei ${19659296] {19659296] { displaystyle lambda ' _ { pi ^ {- 1} (i)}}$ für alle ${1945Style 1 leq i leq n}$ .

If ${ displaystyle pi = (12)}$ (19659027) in (Zyklusnotation)), und wenn wir die Enden des Intervalls zu einem Kreis zusammenfügen, dann ${displaystyle T_{pi ,lambda }}$ ist nur eine Kreisrotation. Der Weyl-Äquidistributionssatz behauptet dann, wenn die Länge ${displaystyle lambda _{1}}$ ist irrational, dann ${displaystyle T_{pi ,lambda }}$ ist einzigartig ergodisch. Grob gesagt bedeutet dies, dass die Umlaufbahnen der Punkte von ${ displaystyle lambda _ {1}}$ periodisch, und die Periode ist der Nenner von ${ displaystyle lambda _ {1}}$ (in niedrigsten Ausdrücken geschrieben).

If ${displaystyle n> 2} "> <semantics><mrow class=$ und bereitgestellt "/> ] ${ displaystyle pi}$ $pi$ erfüllt bestimmte Nicht-Degenerationsbedingungen (dh es gibt keine ganze Zahl ${ displaystyle 0 <k <n}$ so dass ${ displaystyle pi ( {1, dots, k }) = {1, dots, k }}$ ), ein tiefes Theorem, das eine Vermutung von M. Keane war und unabhängig von William A. Veech und Howard Masur ^[3] bejahte alle Optionen von ${displaystyle lambda }$ in der Einheit simplex ${displaystyle {(t_{1},dots ,t_{n}):sum t_{i}=1}}$