In der Mathematik ist eine Gleichung eine Gleichheit, die eine oder mehrere Variablen enthält. Beim Lösen besteht die Gleichung aus der Bestimmung, welche Werte der Variablen die Gleichheit wahr machen. Variablen werden auch Unbekannte genannt, und die Werte der Unbekannten, die die Gleichheit erfüllen, werden als Lösungen der Gleichung bezeichnet. Es gibt zwei Arten von Gleichungen: Identitäten und Bedingungsgleichungen. Eine Identität gilt für alle Werte der Variablen. Eine Bedingungsgleichung gilt nur für bestimmte Werte der Variablen. [1][2]
Eine Gleichung wird als zwei Ausdrücke geschrieben, die durch ein Gleichheitszeichen ("=") verbunden sind. Die Ausdrücke auf den beiden Seiten des Gleichheitszeichens werden als "linke Seite" und "rechte Seite" der Gleichung bezeichnet.
Die gebräuchlichste Art von Gleichung ist eine algebraische Gleichung, bei der die beiden Seiten algebraische Ausdrücke sind.
Jede Seite einer algebraischen Gleichung enthält einen oder mehrere Terme. Zum Beispiel die Gleichung
hat linke Seite die aus nur einem Term besteht. Die Unbekannten sind x und y und die Parameter sind A B und C .
![{ displaystyle Ax ^ {2} + Bx + C} [19659027]die drei Terme hat, und die rechte Seite <span class=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/012d611189aa132d75568d812ee74cb4bbb96f56)
Eine Gleichung ist analog zu einer Skala, in die Gewichte eingefügt werden. Wenn gleiche Gewichte (z. B. Getreide) in die beiden Pfannen gegeben werden, bewirken die beiden Gewichte, dass die Waage im Gleichgewicht ist und als gleich bezeichnet wird. Wenn eine Menge Getreide aus einer Waagschale der Waage entnommen wird, muss eine gleiche Menge Getreide aus der anderen Waagschale entnommen werden, um die Waage im Gleichgewicht zu halten. Um eine Gleichung im Gleichgewicht zu halten, müssen auf beiden Seiten einer Gleichung dieselben Operationen der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division ausgeführt werden, damit sie wahr bleibt.
In der Geometrie werden Gleichungen zur Beschreibung geometrischer Figuren verwendet. Da die betrachteten Gleichungen, wie etwa implizite Gleichungen oder parametrische Gleichungen, unendlich viele Lösungen haben, ist das Ziel nun anders: Anstatt die Lösungen explizit zu nennen oder zu zählen, was unmöglich ist, verwendet man Gleichungen zur Untersuchung der Eigenschaften von Zahlen. Dies ist die Grundidee der algebraischen Geometrie, einem wichtigen Bereich der Mathematik.
Die Algebra untersucht zwei Hauptfamilien von Gleichungen: Polynomgleichungen und unter ihnen den Sonderfall linearer Gleichungen. Wenn es nur eine Variable gibt, haben Polynomgleichungen die Form P ( x ) = 0, wobei P ein Polynom ist und lineare Gleichungen die Form ax + b = 0, wobei a und b Parameter sind. Um Gleichungen aus beiden Familien zu lösen, verwendet man algorithmische oder geometrische Techniken, die aus der linearen Algebra oder der mathematischen Analyse stammen. Algebra untersucht auch Diophantine-Gleichungen, bei denen die Koeffizienten und Lösungen ganze Zahlen sind. Die verwendeten Techniken unterscheiden sich von der Zahlentheorie. Diese Gleichungen sind im Allgemeinen schwierig; Man sucht oft nur, um die Existenz oder Abwesenheit einer Lösung zu finden und, falls vorhanden, die Anzahl der Lösungen zu zählen.
Differentialgleichungen sind Gleichungen, die eine oder mehrere Funktionen und ihre Ableitungen beinhalten. Sie werden gelöst, indem ein Ausdruck für die Funktion gefunden wird, der keine Ableitungen enthält. Differentialgleichungen werden verwendet, um Prozesse zu modellieren, die die Änderungsraten der Variablen beinhalten, und werden in Bereichen wie Physik, Chemie, Biologie und Ökonomie verwendet.
Das "=" -Symbol, das in jeder Gleichung vorkommt, wurde 1557 von Robert Recorde erfunden, der der Ansicht war, dass nichts mehr als parallele gerade Linien mit gleicher Länge sein könnte. [3]
Einleitung [ ] edit ]
Analoge Darstellung [ edit ]
Eine Gleichung ist analog zu einer Waage, Waage oder Wippe.
Jede Seite der Gleichung entspricht einer Seite der Waage. Auf jeder Seite können unterschiedliche Größen angegeben werden: Wenn die Gewichte auf beiden Seiten gleich sind, balanciert die Waage, und in Analogie ist auch die Gleichheit, die das Gleichgewicht darstellt, ausgeglichen (wenn nicht, entspricht das Fehlen des Gleichgewichts einer Ungleichung, die durch dargestellt wird eine Ungleichung).
In der Abbildung sind x y und z alle verschiedene Größen (in diesem Fall reelle Zahlen), die als Rundgewichte dargestellt sind, und jeweils x y und z hat ein unterschiedliches Gewicht. Die Addition entspricht der Gewichtszunahme, während die Subtraktion der Entfernung des bereits vorhandenen Gewichts entspricht. Wenn Gleichheit gilt, ist das Gesamtgewicht auf jeder Seite gleich.
Parameter und Unbekannte [ edit ]
Gleichungen enthalten oft andere Begriffe als die Unbekannten. Diese anderen Ausdrücke, von denen angenommen wird, dass sie bekannt sind werden üblicherweise als Konstanten Koeffizienten oder Parameter bezeichnet.
Ein Beispiel für eine Gleichung, die x und y als Unbekannte beinhaltet und der Parameter R ist
Wenn R gewählt wird haben den Wert 2 ( R = 2), würde diese Gleichung erkannt, wenn sie in kartesischen Koordinaten als die Gleichung für einen bestimmten Kreis mit einem Radius von 2 skizziert wird. Daher die Gleichung mit R ist die allgemeine Gleichung für den Kreis.
Üblicherweise sind die Unbekannten am Ende des Alphabets durch Buchstaben gekennzeichnet, x y z w …, Während Koeffizienten (Parameter) zu Beginn mit Buchstaben bezeichnet werden, a b c d d. Beispielsweise wird die allgemeine quadratische Gleichung normalerweise geschrieben ax 2 + bx + c = 0. Der Prozess des Findens der Lösungen oder Im Fall von Parametern wird das Ausdrücken der Unbekannten in Bezug auf die Parameter als das Lösen der Gleichung bezeichnet. Solche Ausdrücke der Lösungen in Bezug auf die Parameter werden auch als Lösungen bezeichnet.
Ein Gleichungssystem ist ein Satz von simultanen Gleichungen meist in mehreren Unbekannten, für die die gemeinsamen Lösungen gesucht werden. Eine -Lösung für das System ist somit eine Menge von Werten für jede der Unbekannten, die zusammen eine Lösung für jede Gleichung im System bilden. Zum Beispiel das System
hat die einzigartige Lösung x = -1, y = 1.
Identitäten [ edit ]
Eine Identität ist eine Gleichung, die für alle möglichen Werte der darin enthaltenen Variablen gilt. Viele Identitäten sind in Algebra und Analysis bekannt. Beim Lösen einer Gleichung wird häufig eine Identität verwendet, um eine Gleichung zu vereinfachen, um sie leichter lösbar zu machen.
In der Algebra ist ein Beispiel für eine Identität die Differenz zweier Quadrate:
was für alle x und y gilt.
Trigonometrie ist ein Gebiet, in dem viele Identitäten existieren; diese sind nützlich, um trigonometrische Gleichungen zu manipulieren oder zu lösen. Zwei von vielen, die die Sinus- und Cosinusfunktionen beinhalten, sind:
und
beide gelten für alle Werte von θ .
Um beispielsweise nach dem Wert von θ zu suchen, der die Gleichung erfüllt:
wobei bekannt ist, dass 19459009 θ zwischen 0 und 45 Grad begrenzt ist, können wir die obige Identität für das Produkt verwenden geben:
wodurch die Lösung für & thgr;
Da die Sinusfunktion eine periodische Funktion von ist, gibt es unendlich viele Lösungen, wenn es keine Einschränkungen für θ gibt. . In diesem Beispiel bedeutet die Einschränkung, dass θ zwischen 0 und 45 Grad liegt, nur eine Lösung.
Eigenschaften [ edit ]
Zwei Gleichungen oder zwei Gleichungssysteme sind gleichwertig wenn sie den gleichen Satz von Lösungen haben. Die folgenden Operationen wandeln eine Gleichung oder ein Gleichungssystem in ein Äquivalent um - vorausgesetzt, die Operationen sind für die Ausdrücke von Bedeutung, auf die sie angewendet werden:
- Addieren oder Subtrahieren der gleichen Menge auf beiden Seiten einer Gleichung. Dies zeigt, dass jede Gleichung einer Gleichung entspricht, in der die rechte Seite Null ist.
- Multiplizieren oder Dividieren beider Seiten einer Gleichung mit einer Nicht-Null-Größe.
- Anwenden einer Identität, um eine Seite der Formel zu transformieren Gleichung. Zum Beispiel das Erweitern eines Produkts oder das Faktorisieren einer Summe.
- Für ein System: Hinzufügen der entsprechenden Seite einer anderen Gleichung zu beiden Seiten einer Gleichung, multipliziert mit derselben Größe.
Wenn eine Funktion auf beide Seiten von angewendet wird Bei einer Gleichung hat die resultierende Gleichung die Lösungen der Anfangsgleichung unter ihren Lösungen, kann jedoch weitere Lösungen haben, die als Fremdlösungen bezeichnet werden. Beispielsweise hat die Gleichung die Lösung Beide Seiten werden auf den Exponenten von 2 angehoben (was die Anwendung der Funktion bedeutet (beide Seiten der Gleichung) ändert die Gleichung in das nicht nur die vorherige Lösung hat, sondern auch die Fremdlösung einführt, Wenn die Funktion bei einigen Werten nicht definiert ist (z. B. 1 / x was nicht für x = 0) definiert ist, können Lösungen, die bei diesen Werten vorhanden sind, verloren gehen. Daher ist Vorsicht geboten, wenn eine solche Transformation auf eine Gleichung angewendet wird.
Die obigen Transformationen sind die Basis der meisten elementaren Methoden zum Lösen von Gleichungen sowie einiger weniger elementarer Methoden wie der Gaußschen Elimination.
Algebra [ edit ]
Polynomialgleichungen [ edit
Im Allgemeinen eine algebraische Gleichung oder Polynomgleichung ist eine Gleichung der Form
- oder
Zum Beispiel
ist eine univariate algebraische (Polynom) Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten und
ist eine multivariate Polynomgleichung über die rationalen Zahlen.
Einige, aber nicht alle Polynomgleichungen mit rationalen Koeffizienten haben eine Lösung, die einen algebraischen Ausdruck mit einer endlichen Anzahl von Operationen darstellt, an denen nur diese Koeffizienten beteiligt sind (dh sie können algebraisch gelöst werden). Dies kann für alle derartigen Gleichungen vom ersten, zweiten, dritten oder vierten Grad durchgeführt werden; für den fünften oder mehr Grad kann es für einige Gleichungen gelöst werden, aber, wie der Abel-Ruffini-Satz zeigt, nicht für alle. Es wurde viel Forschung betrieben, um effizient genaue Annäherungen der realen oder komplexen Lösungen einer univariaten algebraischen Gleichung (siehe Algorithmus zur Wurzelfindung) und der gemeinsamen Lösungen mehrerer multivariater Polynomgleichungen (siehe System der Polynomialgleichungen) zu berechnen.
Systeme linearer Gleichungen [ edit ]
Ein System linearer Gleichungen (oder lineares System ) ist eine Sammlung linearer Gleichungen, die denselben Satz von Variablen verwenden [4] Zum Beispiel
ist ein System von drei Gleichungen in den drei Variablen x y ] z . Eine Lösung eines linearen Systems ist eine Zuordnung von Zahlen zu den Variablen, so dass alle Gleichungen gleichzeitig erfüllt sind. Eine -Lösung für das obige System ist gegeben durch
- Geometrie [ edit ]
Analytische Geometrie [ edit
Ein Kegelschnitt ist der Schnittpunkt einer Ebene und eines RotationskegelsIn der euklidischen Geometrie ist es möglich, jedem Punkt im Raum einen Koordinatensatz zuzuordnen, beispielsweise durch ein orthogonales Gitter. Diese Methode erlaubt es, geometrische Figuren durch Gleichungen zu charakterisieren. Eine Ebene im dreidimensionalen Raum kann als Lösungssatz einer Gleichung der Form wobei d sind reelle Zahlen und sind die Unbekannten, die den Koordinaten eines Punktes im System entsprechen, der durch das orthogonale Gitter gegeben ist. Die Werte sind die Koordinaten von a Vektor senkrecht zu der durch die Gleichung definierten Ebene. Eine Linie wird als Schnittpunkt zweier Ebenen ausgedrückt, d. H. Als Lösungssatz einer einzelnen linearen Gleichung mit Werten in oder als Lösungssatz von zwei linearen Gleichungen mit Werten in
Ein konischer Schnitt ist der Schnittpunkt eines Kegels mit der Gleichung und eine Ebene. Mit anderen Worten, im Weltraum sind alle Kegel als Lösungsmenge einer Gleichung einer Ebene und der gerade gegebenen Gleichung eines Kegels definiert. Dieser Formalismus erlaubt es, die Positionen und die Eigenschaften der Brennpunkte eines Kegels zu bestimmen.
Durch die Verwendung von Gleichungen kann ein großer Bereich der Mathematik zur Lösung geometrischer Fragen herangezogen werden. Das kartesische Koordinatensystem wandelt ein geometrisches Problem in ein Analyseproblem um, sobald die Figuren in Gleichungen umgewandelt werden. daher der Name analytische Geometrie. Dieser von Descartes skizzierte Standpunkt bereichert und modifiziert die Art der Geometrie, die von den antiken griechischen Mathematikern begriffen wurde.
Derzeit bezeichnet analytische Geometrie einen aktiven Zweig der Mathematik. Obwohl es immer noch Gleichungen zur Charakterisierung von Zahlen verwendet, verwendet es auch andere ausgefeilte Techniken wie Funktionsanalyse und lineare Algebra.
Kartesische Gleichungen [ edit ]
Ein kartesisches Koordinatensystem ist ein Koordinatensystem, das jeden Punkt in einer Ebene eindeutig durch ein Paar numerischer -Koordinaten angibt sind die vorzeichenbehafteten Abstände vom Punkt zu zwei festen, senkrecht gerichteten Linien, die mit derselben Längeneinheit markiert sind.
Man kann dasselbe Prinzip verwenden, um die Position eines beliebigen Punktes im dreidimensionalen Raum unter Verwendung von drei kartesischen Koordinaten zu bestimmen, bei denen es sich um die mit Vorzeichen versehenen Abstände zu drei zueinander senkrechten Ebenen handelt (oder äquivalent dazu durch seine senkrechte Projektion auf drei.) zueinander senkrechte Linien).
Kartesisches Koordinatensystem mit einem Kreis mit Radius 2, dessen Mittelpunkt rot markiert ist. Die Gleichung eines Kreises lautet ( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 = r 2 wobei a und b die Koordinaten des Zentrums a sind b ) und r ist der Radius.Die Erfindung der kartesischen Koordinaten im 17. Jahrhundert durch René Descartes (lateinisierter Name: Cartesius) ) revolutionierte die Mathematik, indem sie die erste systematische Verbindung zwischen euklidischer Geometrie und Algebra herstellte. Mit dem kartesischen Koordinatensystem können geometrische Formen (wie Kurven) durch kartesische Gleichungen beschrieben werden: algebraische Gleichungen, bei denen die Koordinaten der auf der Form liegenden Punkte verwendet werden. Beispielsweise kann ein Kreis mit Radius 2 in einer Ebene, zentriert auf einen bestimmten Punkt, der als Ursprung bezeichnet wird, als die Menge aller Punkte beschrieben werden, deren Koordinaten x und y die Gleichung erfüllen x 2 + y 2 = 4 .
Parametrische Gleichungen [ edit ]
Eine Parametergleichung für eine Kurve drückt die Koordinaten der Punkte der Kurve als Funktionen einer Variablen aus, die als Parameter bezeichnet wird. [5][6] Zum Beispiel .
sind parametrische Gleichungen für den Einheitskreis von wobei t der Parameter ist. Zusammen werden diese Gleichungen als parametrische Darstellung der Kurve bezeichnet.
Der Begriff der parametrischen Gleichung wurde auf Oberflächen, Mannigfaltigkeiten und algebraische Varietäten höherer Dimension verallgemeinert, wobei die Anzahl der Parameter der Dimension der Mannigfaltigkeit oder der Varietät und der Anzahl der Gleichungen entspricht gleich der Größe des Raums, in dem die Mannigfaltigkeit oder Varietät betrachtet wird (für Kurven ist die Dimension ein und ein Parameter, für die Dimension der Oberfläche zwei und zwei Parameter usw.).
Zahlentheorie [ edit ]
Diophantine Gleichungen edit
A Diophantin-Gleichung ist eine polynomiale Gleichung in zwei oder mehr Unbekannten, für die nur nach ganzzahligen Lösungen gesucht wird (eine ganzzahlige Lösung ist eine Lösung, bei der alle Unbekannten ganzzahlige Werte annehmen). Eine lineare Diophantine-Gleichung ist eine Gleichung zwischen zwei Summen von Monomen mit dem Grad Null oder Eins. Ein Beispiel für die lineare Diophantin-Gleichung ist ax + bis = c wobei a
Diophantine-Probleme haben weniger Gleichungen als unbekannte Variablen und erfordern das Finden von Ganzzahlen, die für alle Gleichungen korrekt funktionieren. In einer eher technischen Sprache definieren sie eine algebraische Kurve, eine algebraische Oberfläche oder ein allgemeineres Objekt und fragen nach den Gitterpunkten darauf.
Das Wort Diophantine bezieht sich auf den hellenistischen Mathematiker des 3. Jahrhunderts, Diophantus von Alexandria, der solche Gleichungen studierte und einer der ersten Mathematiker war, der Symbolismus in die Algebra einführte. Die von Diophantus initiierte mathematische Studie der Diophantinprobleme wird jetzt Diophantinanalyse genannt.
Algebraische und transzendentale Zahlen [ edit ]
Eine algebraische Zahl ist eine Zahl, die eine Lösung einer Nicht-Null-Polynomgleichung in einer Variablen mit rationalen Koeffizienten (oder gleichwertig - durch -) ist Clearing Nenner - mit ganzzahligen Koeffizienten). Zahlen wie π die nicht algebraisch sind, werden als transzendent bezeichnet. Fast alle reellen und komplexen Zahlen sind transzendent.
Algebraische Geometrie [ edit ]
Algebraische Geometrie ist ein Zweig der Mathematik, der klassisch Lösungen von Polynomialgleichungen untersucht. Die moderne algebraische Geometrie basiert auf abstrakteren Techniken der abstrakten Algebra, insbesondere der kommutativen Algebra, mit der Sprache und den Problemen der Geometrie.
Die grundlegenden Untersuchungsgegenstände der algebraischen Geometrie sind algebraische Varietäten, die geometrische Manifestationen von Lösungen von Systemen von Polynomialgleichungen sind. Beispiele für die am meisten untersuchten Klassen algebraischer Varietäten sind: ebene algebraische Kurven, zu denen Linien, Kreise, Parabeln, Ellipsen, Hyperbeln, kubische Kurven wie elliptische Kurven und quartische Kurven wie Lemniskate und Cassini-Ovale gehören. Ein Punkt der Ebene gehört zu einer algebraischen Kurve, wenn ihre Koordinaten eine gegebene Polynomgleichung erfüllen. Grundlegende Fragen beziehen sich auf die Untersuchung der Punkte von besonderem Interesse, wie der Einzelpunkte, der Wendepunkte und der Punkte im Unendlichen. In fortgeschritteneren Fragen werden die Topologie der Kurve und die Beziehungen zwischen den durch verschiedene Gleichungen gegebenen Kurven behandelt.
Differentialgleichungen [ edit ]
Eine Differentialgleichung ist eine mathematische Gleichung, die einige Funktionen mit ihren Ableitungen in Beziehung setzt. In Anwendungen repräsentieren die Funktionen normalerweise physikalische Größen, die Ableitungen stellen ihre Änderungsraten dar und die Gleichung definiert eine Beziehung zwischen den beiden. Da solche Beziehungen extrem häufig sind, spielen Differentialgleichungen in vielen Disziplinen, darunter Physik, Ingenieurwesen, Wirtschaft und Biologie, eine herausragende Rolle.
In der reinen Mathematik werden Differentialgleichungen aus verschiedenen Blickwinkeln untersucht, die sich meist mit ihren Lösungen befassen - dem Satz von Funktionen, die die Gleichung erfüllen. Nur die einfachsten Differentialgleichungen sind durch explizite Formeln lösbar. Einige Eigenschaften von Lösungen einer gegebenen Differentialgleichung können jedoch bestimmt werden, ohne ihre genaue Form zu finden.
Wenn keine eigenständige Formel für die Lösung verfügbar ist, kann die Lösung mit Computern numerisch approximiert werden. Die Theorie dynamischer Systeme legt den Schwerpunkt auf die qualitative Analyse von durch Differentialgleichungen beschriebenen Systemen, während viele numerische Methoden entwickelt wurden, um Lösungen mit einem bestimmten Genauigkeitsgrad zu bestimmen.
Gewöhnliche Differentialgleichungen [ edit ]
Eine gewöhnliche Differentialgleichung oder ODE ist eine Gleichung, die eine Funktion einer unabhängigen Variablen und ihrer Ableitungen enthält. Der Begriff " ordentlich " wird im Gegensatz zu dem Begriff der partiellen Differentialgleichung verwendet, der in Bezug auf mehr als eine unabhängige Variable sein kann.
Lineare Differentialgleichungen, deren Lösungen hinzugefügt und mit Koeffizienten multipliziert werden können, sind gut definiert und verstanden, und es werden genaue Lösungen in geschlossener Form erhalten. Im Gegensatz dazu sind ODEs ohne additive Lösungen nichtlinear, und ihre Lösung ist viel komplizierter, da sie selten durch elementare Funktionen in geschlossener Form dargestellt werden können: Stattdessen liegen exakte und analytische Lösungen von ODEs in Reihen- oder Integralform vor. Grafische und numerische Methoden, die von Hand oder Computer angewendet werden, können Lösungen von ODEs annähern und möglicherweise nützliche Informationen liefern, die oft ausreichen, wenn keine exakten analytischen Lösungen vorhanden sind.
Partielle Differentialgleichungen [ edit ]
Eine partielle Differentialgleichung ( PDE ) ist eine Differentialgleichung, die unbekannte mehrvariable Funktionen und ihre partiellen Ableitungen enthält. (This is in contrast to ordinary differential equations, which deal with functions of a single variable and their derivatives.) PDEs are used to formulate problems involving functions of several variables, and are either solved by hand, or used to create a relevant computer model.
PDEs can be used to describe a wide variety of phenomena such as sound, heat, electrostatics, electrodynamics, fluid flow, elasticity, or quantum mechanics. These seemingly distinct physical phenomena can be formalised similarly in terms of PDEs. Just as ordinary differential equations often model one-dimensional dynamical systems, partial differential equations often model multidimensional systems. PDEs find their generalisation in stochastic partial differential equations.
Types of equations[edit]
Equations can be classified according to the types of operations and quantities involved. Important types include:
See also[edit]
References[edit]
- ^ Lachaud, Gilles. "Équation, mathématique". Encyclopædia Universalis (in French).
- ^ "A statement of equality between two expressions. Equations are of two types, identities and conditional equations (or usually simply "equations")". « Equation », in Mathematics DictionaryGlenn James et Robert C. James (éd.), Van Nostrand, 1968, 3 ed. 1st ed. 1948, p. 131.
- ^ Recorde, Robert, The Whetstone of Witte … (London, England: Jhon Kyngstone, 1557), the third page of the chapter "The rule of equation, commonly called Algebers Rule."
- ^ The subject of this article is basic in mathematics, and is treated in a lot of textbooks. Among them, Lay 2005, Meyer 2001, and Strang 2005 contain the material of this article.
- ^ Thomas, George B., and Finney, Ross L., Calculus and Analytic GeometryAddison Wesley Publishing Co., fifth edition, 1979, p. 91.
- ^ Weisstein, Eric W. "Parametric Equations." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ParametricEquations.html
External links[edit]
- Winplot: General Purpose plotter that can draw and animate 2D and 3D mathematical equations.
- Mathematical equation plotter: Plots 2D mathematical equations, computes integrals, and finds solutions online.
- Equation plotter: A web page for producing and downloading pdf or postscript plots of the solution sets to equations and inequations in two variables (x and y).
- EqWorld—contains information on solutions to many different classes of mathematical equations.
- fxSolver: Online formula database and graphing calculator for mathematics, natural science and engineering.
- EquationSolver: A webpage that can solve single equations and linear equation systems.
- vCalc: A webpage with an extensive user modifiable equation library.
![{ begin {alignat} {2} x & , = , & 1 \ y & , = , & - 2 \ z & , = , & - 2 end {alignat}} [19659016]da alle drei Gleichungen gültig sind. Das Wort "<i> system </i>" weist darauf hin, dass die Gleichungen nicht einzeln, sondern zusammen betrachtet werden sollen.<br/></p><p> In der Mathematik ist die Theorie linearer Systeme die Basis und ein grundlegender Bestandteil der linearen Algebra, einem Fach, das in den meisten Bereichen der modernen Mathematik verwendet wird. Computeralgorithmen zum Finden der Lösungen sind ein wichtiger Bestandteil der numerischen linearen Algebra und spielen eine herausragende Rolle in Physik, Technik, Chemie, Informatik und Wirtschaft. Ein System nichtlinearer Gleichungen kann oft durch ein lineares System (siehe Linearisierung) angenähert werden, eine hilfreiche Technik, wenn ein mathematisches Modell oder Computersimulation eines relativ komplexen Systems erstellt wird.<br/></p><br/><h2><span class=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4460866202afb67e822389a6b11a0b453c89c1c7)
Geometrie 
No comments:
Post a Comment